После suggest идет герундий, а не инфинитив
Он предложил пойти – he suggested going. (скорее всего, пойдут он и еще кто-то)
Он предложил, чтобы я помог ей: он только предложил, а действие будет выполнять я.
He suggested my helping her
Используя сложноподчиненное предложение
he suggested that I should do it.
Вместо I может быть любое местоимение любого лица, и оно будет с should. При этом should может опускаться.
Она предложила, чтобы он остановился в гостинице
She suggested he staying at a hotel.
She suggested that he should stay at a hotel.
She suggested that he stay at a hotel. – голый инфинитив